Algorithm 4 (Fixed-increment single-sample Perceptron)

reference: Duda, el at

Steps to demo:

  • Get data. Training sample (negative/positive) and initial weight a0.
  • Plot Neg/Pos data points.
  • Augment training vectors.
  • Apply fissp algorithm for classifying the pattern (and updating the weight error classification).
    • Show steps for the intermdiate solutions.
  • Get and solve the discriminant function: g(x) = w^t x + w0, that is: \[g(x) = \matrix{[a_1, a_2]}.\begin{bmatrix}{x_1 \\ x_2}\end{bmatrix}.a_0 \]
    • Using the adujsted weight \(\alpha = [a_0, a_1, a_2]\).
  • Plot the decision boundary within some interval.
  • Plot all intermediate updated weights.

Repeat with other training samples and different weights (with no XOR data points).

  • See the crazy results of XOR problem.
In [19]:
# # create an instance of Perceptron() class
classifier = Perceptron()
# ## get sample data
pos, neg, weight = classifier.get_data(sample=1)#; weight = np.array([-1,1,1])
"""                                         1: class example
                                            2: midterm sample
                                            3: duda sample (ch2, ex:1)
                                            4: random sample
                                            5: Duda sample Ch.5 exercise.
"""

# ## plot training sample
classifier.plot_points(pos, neg);plt.grid()

# ## augment training vectors
aug_pos, aug_neg = classifier.augment(pos.T, aug=[1]), classifier.augment(neg.T, aug=[1])

# ## cycling trhough training samples and adjusting the weights until a solution is reached
a, all_a = classifier.fissp(aug_pos, aug_neg, weight, show_steps=1)

# ## get final solution, show steps, and plot solution boundary.
solution = classifier.disc_func(a) #;print(solution)

# ## plot decision boundary
x = np.arange(-5,5,0.1)
bound = classifier.get_decision(x, solution)
classifier.plotme(bound, x, a)
print("solution: {} with {} weigth updates".format(solution.evalf(2), len(all_a)))
# ## plot all intermediate results

plt.show();classifier.plot_points(pos, neg);plt.grid()
classifier.plot_all()
print("intermediate solutions:")
=> initial a: [-2  0  1]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2  0  1] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2  0  1] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2  0  1] = -1.0 ? pos =>  FALSE
=> updated a: [-1.  1.  2.]
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-1.  1.  2.] = 1.0 ? neg =>  FALSE
=> updated a: [-2.  1.  1.]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2.  1.  1.] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2.  1.  1.] = -1.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2.  1.  1.] = 0.0 ? pos =>  FALSE
=> updated a: [-1.  2.  2.]
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-1.  2.  2.] = 1.0 ? neg =>  FALSE
=> updated a: [-2.  2.  1.]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2.  2.  1.] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2.  2.  1.] = 0.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2.  2.  1.] = 1.0 ? pos =>  CORRECT
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-2.  2.  1.] = -1.0 ? neg =>  CORRECT
all good with a =  [-2.  2.  1.]
solution: -0.5*x2 + 1.0 with 4 weigth updates

intermediate solutions:

In [17]:
# midterm dataset sample
solution: -0.33*x2 - 0.67 with 2 weigth updates

intermediate solutions:

In [16]:
# our class example
solution: -0.5*x2 + 1.0 with 4 weigth updates

intermediate solutions:

In [10]:
# Duda dataset sample Ch.5 computer exercise 2
solution: 1.2*x2 + 1.9 with 59 weigth updates

In [5]:
# Dudua Bayes example, ch.2 example 2
[Duda, ch2. ex1]
final solution:
2

the intermediate solutions:

In [2]:
# Random dataset sample
[Random sample]
final solution:
1.8*x2 - 2.8

the intermediate solutions:

In [9]:
__author__ = "A.Aziz Altowayan"
__email__ = "aa10212w@pace.edu"

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sy

class Perceptron(object):
    
    def __init__(self):
        pass

    def fissp(self, a_pos, a_neg, w, show_steps=0):
        """
        Algorithm 4: Fixed-increment single-sample Perceptron (based on: Ch.5 Duda et. al.)
        input: 
            `a_pos`:      augmented positive datapoints
            `a_neg`:      augmented negative datapoints
            `w`:          initial weight vector
            `show_steps`: optional boolean to show/hide intermediate solutions.
        return:
            `a`: the final weight vector that classifies training sample correctly.
            `a_all`: intermediate adjusted weights from cyclying training sample.
        """

        # create dict of neg and pos vectors
        y_neg = {k:"neg" for k in [tuple(v) for v in a_neg]}
        y_pos = {k:"pos" for k in [tuple(v) for v in a_pos]}
        y_dict = dict(y_neg.items() + y_pos.items())

        # start fissp 
        n = len(y_dict)
        k = 0
        a = w
        self.all_a = [a] # a record of updates
        all_correct = [0 for _ in range(n)]
        pattern_classfied = False

        if show_steps:  print "=> initial a:", a
        while not pattern_classfied:
            sign = y_dict.values()[k]
            y = y_dict.keys()[k]        
            y = np.array([float(i) for i in y])
            y_a = np.dot(y, a)

            if show_steps: print("{} y{}:{} * a:{} = {} ? {} => ".format(sign, k, y, a, y_a, sign)),

            if (sign == "neg" and y_a < 1) or (sign == "pos" and y_a > 0):
                if show_steps: print "CORRECT"
                all_correct[k] = 1
            else:
                if show_steps: print "FALSE"
                all_correct[k] = 0
                # update weight
                if sign == "neg":
                    a = a - y
                    if show_steps:  print "=> updated a:", a
                if sign == "pos":
                    a = a + y
                    if show_steps: print "=> updated a:", a

                # add the new a to weights aggregation
                self.all_a.append(a)

            k = (k+1) % n
            if sum(all_correct) == n:
                pattern_classfied = True
                self.all_a.pop() # remove the correct solution from aggregated weights
                if show_steps: print "all good with a = ", a

                return a, self.all_a

    def disc_func(self, w):
        """ input: [a0, a1, a2]
            return the solution to: ( [a1 a2] * [x1 x2].T ) + a0
        """
        x = sy.Matrix([ 'x{}'.format(n) for n in range(1,3) ]) # create [x1 x2].T matrix of symbols
        gx = (w[1:] * x)[0] + w[0] # ( [a1 a2] * [x1 x2].T ) + a0
        if len(gx.args) > 2:
            return list(sy.solve(gx)[0].values())[0]
        else:
            sol = sy.solve(gx)[0]
            if isinstance(sol, dict):
                sol = sol.values()[0]
            return sol

    def get_decision(slef, x, model):
        """ input: x values (between interval), and the model
            return: result of model corresponding to x values e.g.) result = 3 * x + 2
        """
        expr = model
        # solved expr of form e.g.) x1 = .. 3x2**2 - 3x2 + 14 ..
        x2 = sy.symbols('x2')
        f = sy.lambdify(x2, expr, "numpy")
        result = f(x)
        return result


    
    # utilities functions (data and plotting)
    def get_data(self, sample=1):
        """
            Return training sample datapoints. by choice:
            1: class example
            2: midterm sample
            3: duda sample (ch2, ex:1)
            4: random sample
            5: Duda sample Ch.5 exercise.
        """
        if sample == 1:
            """class example"""
            pos = np.array([[1,1]]).T
            neg = np.array([[0,0],[1,0],[0,1]]).T
            w = np.array([-2,0,1])
            return pos, neg, w
        elif sample == 2:
            """midterm sample"""
            pos = np.array([[0,2],[-1,2],[3,-2]]).T
            neg = np.array([[-2,-1],[0,-3]]).T
            w = np.array([2,1,-2])
            return pos, neg, w

        elif sample == 3:
            """duda sample (ch2 ex: 1)"""
            pos = np.array([[3,8], [2,6], [4,6], [3,4]]).T    
            neg = np.array([[3,0], [1,-2], [5,-2], [3,-4]]).T
            w = np.array([-2,0,1])
            return pos, neg, w
        elif sample == 4:
            """random"""
            pos = np.array([[0,0], [0,1], [2,2], [3,1], [3,2], [3,3]]).T 
            neg = np.array([[6,9], [8,9], [9,8], [9,9], [9,10],[8,11]]).T
            w = np.array([-3,1,1])
            return pos, neg, w
        elif sample == 5:
            """Duda sample Ch.5"""
            w1 = np.array([[0.1, 1.1], [6.8, 7.1], [-3.5, -4.1], [2, 2.7], [4.1, 2.8], [3.1, 5], [-8, -1.3], [0.9, 1.2], [5, 6.4], [3.9, 4]]).T
            w2 = np.array([ [7.1, 4.2], [-1.4, -4.3], [4.5, 0], [6.3, 1.6], [4.2, 1.9], [1.4, -3.2], [2.4, -4], [2.5, -6.1], [8.4, 3.7], [4.1, -2.2] ]).T
            w = np.array([0,0,0])
            return w1, w2, w
        else:
            print("please enter a valid sample number or leave args blank for default sample number 1")

    def augment(self, data, aug=[1]):
        """augmenting training vectors"""
        return np.array([np.append(aug, n) for n in data])

    def plotme(self, x, bound, final_a):
        """plot the decision boundary from the correct weight"""
        if isinstance(bound, int):
            bound = [bound for _ in range(len(x))]
        if isinstance(x, int):
            x = [x for _ in range(len(bound))]
        plt.plot(x, bound, 'r--', label='Decision boundary a.x = {}'.format(final_a))
        plt.legend(bbox_to_anchor = (1.8, 1))

    def plot_all(self, limit=0):
        """plot all intermeiate weights solutions"""
        colors = ['g','b','k','c', 'y', 'w']
        solutions = self.all_a
        if len(solutions) > 6:
            solutions = solutions[:6]
        for i, a in enumerate(solutions):
            solution = self.disc_func(a)
            x = np.arange(-2,2,0.1)
            bound = self.get_decision(x, solution)
            if isinstance(bound, int):
                bound = [bound for _ in range(len(x))]
            plt.plot(x, bound, '{}--'.format(colors[i]), label='a{}.x ={}'.format(i,a))
            plt.legend(bbox_to_anchor = (2, 1))

    def plot_points(self, pos, neg):
        """plot positive and negative training samples"""
        plt.scatter(pos[0],pos[1], c='b', label='$Positive$')
        plt.scatter(neg[0],neg[1], c='r', label='$Negative$')

XOR Problem:

Linear classifier doesn't work with XOR problem

In [14]:
def xor():
    p = np.array([[1,1], [0,0]]).T
    n = np.array([[1,0],[0,1]]).T
    return p, n
danger_pos, danger_neg = xor()
plt.scatter(danger_pos[0],danger_pos[1], c='b', label='$Positive$')
plt.scatter(danger_neg[0],danger_neg[1], c='r', label='$Negative$')
plt.legend(bbox_to_anchor = (1.5,1))
plt.show()
In []:
# DANGEROUS (never reach a correct answer but halt your machine because we need to apply a non-linear classifier here
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
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=> updated a: [-1  1  1]
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