# Algorithm 4 (Fixed-increment single-sample Perceptron)

reference: Duda, el at

### Steps to demo:

• Get data. Training sample (negative/positive) and initial weight a0.
• Plot Neg/Pos data points.
• Augment training vectors.
• Apply fissp algorithm for classifying the pattern (and updating the weight error classification).
• Show steps for the intermdiate solutions.
• Get and solve the discriminant function: g(x) = w^t x + w0, that is: $g(x) = \matrix{[a_1, a_2]}.\begin{bmatrix}{x_1 \\ x_2}\end{bmatrix}.a_0$
• Using the adujsted weight $\alpha = [a_0, a_1, a_2]$.
• Plot the decision boundary within some interval.
• Plot all intermediate updated weights.

Repeat with other training samples and different weights (with no XOR data points).

• See the crazy results of XOR problem.
In [19]:
# # create an instance of Perceptron() class
classifier = Perceptron()
# ## get sample data
pos, neg, weight = classifier.get_data(sample=1)#; weight = np.array([-1,1,1])
"""                                         1: class example
2: midterm sample
3: duda sample (ch2, ex:1)
4: random sample
5: Duda sample Ch.5 exercise.
"""

# ## plot training sample
classifier.plot_points(pos, neg);plt.grid()

# ## augment training vectors
aug_pos, aug_neg = classifier.augment(pos.T, aug=[1]), classifier.augment(neg.T, aug=[1])

# ## cycling trhough training samples and adjusting the weights until a solution is reached
a, all_a = classifier.fissp(aug_pos, aug_neg, weight, show_steps=1)

# ## get final solution, show steps, and plot solution boundary.
solution = classifier.disc_func(a) #;print(solution)

# ## plot decision boundary
x = np.arange(-5,5,0.1)
bound = classifier.get_decision(x, solution)
classifier.plotme(bound, x, a)
print("solution: {} with {} weigth updates".format(solution.evalf(2), len(all_a)))
# ## plot all intermediate results

plt.show();classifier.plot_points(pos, neg);plt.grid()
classifier.plot_all()
print("intermediate solutions:")
=> initial a: [-2  0  1]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2  0  1] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2  0  1] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2  0  1] = -1.0 ? pos =>  FALSE
=> updated a: [-1.  1.  2.]
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-1.  1.  2.] = 1.0 ? neg =>  FALSE
=> updated a: [-2.  1.  1.]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2.  1.  1.] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2.  1.  1.] = -1.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2.  1.  1.] = 0.0 ? pos =>  FALSE
=> updated a: [-1.  2.  2.]
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-1.  2.  2.] = 1.0 ? neg =>  FALSE
=> updated a: [-2.  2.  1.]
neg y0:[ 1.  0.  0.] * a:[-2.  2.  1.] = -2.0 ? neg =>  CORRECT
neg y1:[ 1.  1.  0.] * a:[-2.  2.  1.] = 0.0 ? neg =>  CORRECT
pos y2:[ 1.  1.  1.] * a:[-2.  2.  1.] = 1.0 ? pos =>  CORRECT
neg y3:[ 1.  0.  1.] * a:[-2.  2.  1.] = -1.0 ? neg =>  CORRECT
all good with a =  [-2.  2.  1.]
solution: -0.5*x2 + 1.0 with 4 weigth updates

intermediate solutions:

In [17]:
# midterm dataset sample
solution: -0.33*x2 - 0.67 with 2 weigth updates

intermediate solutions:

In [16]:
# our class example
solution: -0.5*x2 + 1.0 with 4 weigth updates

intermediate solutions:

In [10]:
# Duda dataset sample Ch.5 computer exercise 2
solution: 1.2*x2 + 1.9 with 59 weigth updates

In [5]:
# Dudua Bayes example, ch.2 example 2
[Duda, ch2. ex1]
final solution:
2

the intermediate solutions:

In [2]:
# Random dataset sample
[Random sample]
final solution:
1.8*x2 - 2.8

the intermediate solutions:

In [9]:
__author__ = "A.Aziz Altowayan"
__email__ = "aa10212w@pace.edu"

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sy

class Perceptron(object):

def __init__(self):
pass

def fissp(self, a_pos, a_neg, w, show_steps=0):
"""
Algorithm 4: Fixed-increment single-sample Perceptron (based on: Ch.5 Duda et. al.)
input:
a_pos:      augmented positive datapoints
a_neg:      augmented negative datapoints
w:          initial weight vector
show_steps: optional boolean to show/hide intermediate solutions.
return:
a: the final weight vector that classifies training sample correctly.
a_all: intermediate adjusted weights from cyclying training sample.
"""

# create dict of neg and pos vectors
y_neg = {k:"neg" for k in [tuple(v) for v in a_neg]}
y_pos = {k:"pos" for k in [tuple(v) for v in a_pos]}
y_dict = dict(y_neg.items() + y_pos.items())

# start fissp
n = len(y_dict)
k = 0
a = w
self.all_a = [a] # a record of updates
all_correct = [0 for _ in range(n)]
pattern_classfied = False

if show_steps:  print "=> initial a:", a
while not pattern_classfied:
sign = y_dict.values()[k]
y = y_dict.keys()[k]
y = np.array([float(i) for i in y])
y_a = np.dot(y, a)

if show_steps: print("{} y{}:{} * a:{} = {} ? {} => ".format(sign, k, y, a, y_a, sign)),

if (sign == "neg" and y_a < 1) or (sign == "pos" and y_a > 0):
if show_steps: print "CORRECT"
all_correct[k] = 1
else:
if show_steps: print "FALSE"
all_correct[k] = 0
# update weight
if sign == "neg":
a = a - y
if show_steps:  print "=> updated a:", a
if sign == "pos":
a = a + y
if show_steps: print "=> updated a:", a

# add the new a to weights aggregation
self.all_a.append(a)

k = (k+1) % n
if sum(all_correct) == n:
pattern_classfied = True
self.all_a.pop() # remove the correct solution from aggregated weights
if show_steps: print "all good with a = ", a

return a, self.all_a

def disc_func(self, w):
""" input: [a0, a1, a2]
return the solution to: ( [a1 a2] * [x1 x2].T ) + a0
"""
x = sy.Matrix([ 'x{}'.format(n) for n in range(1,3) ]) # create [x1 x2].T matrix of symbols
gx = (w[1:] * x)[0] + w[0] # ( [a1 a2] * [x1 x2].T ) + a0
if len(gx.args) > 2:
return list(sy.solve(gx)[0].values())[0]
else:
sol = sy.solve(gx)[0]
if isinstance(sol, dict):
sol = sol.values()[0]
return sol

def get_decision(slef, x, model):
""" input: x values (between interval), and the model
return: result of model corresponding to x values e.g.) result = 3 * x + 2
"""
expr = model
# solved expr of form e.g.) x1 = .. 3x2**2 - 3x2 + 14 ..
x2 = sy.symbols('x2')
f = sy.lambdify(x2, expr, "numpy")
result = f(x)
return result

# utilities functions (data and plotting)
def get_data(self, sample=1):
"""
Return training sample datapoints. by choice:
1: class example
2: midterm sample
3: duda sample (ch2, ex:1)
4: random sample
5: Duda sample Ch.5 exercise.
"""
if sample == 1:
"""class example"""
pos = np.array([[1,1]]).T
neg = np.array([[0,0],[1,0],[0,1]]).T
w = np.array([-2,0,1])
return pos, neg, w
elif sample == 2:
"""midterm sample"""
pos = np.array([[0,2],[-1,2],[3,-2]]).T
neg = np.array([[-2,-1],[0,-3]]).T
w = np.array([2,1,-2])
return pos, neg, w

elif sample == 3:
"""duda sample (ch2 ex: 1)"""
pos = np.array([[3,8], [2,6], [4,6], [3,4]]).T
neg = np.array([[3,0], [1,-2], [5,-2], [3,-4]]).T
w = np.array([-2,0,1])
return pos, neg, w
elif sample == 4:
"""random"""
pos = np.array([[0,0], [0,1], [2,2], [3,1], [3,2], [3,3]]).T
neg = np.array([[6,9], [8,9], [9,8], [9,9], [9,10],[8,11]]).T
w = np.array([-3,1,1])
return pos, neg, w
elif sample == 5:
"""Duda sample Ch.5"""
w1 = np.array([[0.1, 1.1], [6.8, 7.1], [-3.5, -4.1], [2, 2.7], [4.1, 2.8], [3.1, 5], [-8, -1.3], [0.9, 1.2], [5, 6.4], [3.9, 4]]).T
w2 = np.array([ [7.1, 4.2], [-1.4, -4.3], [4.5, 0], [6.3, 1.6], [4.2, 1.9], [1.4, -3.2], [2.4, -4], [2.5, -6.1], [8.4, 3.7], [4.1, -2.2] ]).T
w = np.array([0,0,0])
return w1, w2, w
else:
print("please enter a valid sample number or leave args blank for default sample number 1")

def augment(self, data, aug=[1]):
"""augmenting training vectors"""
return np.array([np.append(aug, n) for n in data])

def plotme(self, x, bound, final_a):
"""plot the decision boundary from the correct weight"""
if isinstance(bound, int):
bound = [bound for _ in range(len(x))]
if isinstance(x, int):
x = [x for _ in range(len(bound))]
plt.plot(x, bound, 'r--', label='Decision boundary a.x = {}'.format(final_a))
plt.legend(bbox_to_anchor = (1.8, 1))

def plot_all(self, limit=0):
"""plot all intermeiate weights solutions"""
colors = ['g','b','k','c', 'y', 'w']
solutions = self.all_a
if len(solutions) > 6:
solutions = solutions[:6]
for i, a in enumerate(solutions):
solution = self.disc_func(a)
x = np.arange(-2,2,0.1)
bound = self.get_decision(x, solution)
if isinstance(bound, int):
bound = [bound for _ in range(len(x))]
plt.plot(x, bound, '{}--'.format(colors[i]), label='a{}.x ={}'.format(i,a))
plt.legend(bbox_to_anchor = (2, 1))

def plot_points(self, pos, neg):
"""plot positive and negative training samples"""
plt.scatter(pos[0],pos[1], c='b', label='$Positive$')
plt.scatter(neg[0],neg[1], c='r', label='$Negative$')

## XOR Problem:

Linear classifier doesn't work with XOR problem

In [14]:
def xor():
p = np.array([[1,1], [0,0]]).T
n = np.array([[1,0],[0,1]]).T
return p, n
danger_pos, danger_neg = xor()
plt.scatter(danger_pos[0],danger_pos[1], c='b', label='$Positive$')
plt.scatter(danger_neg[0],danger_neg[1], c='r', label='$Negative$')
plt.legend(bbox_to_anchor = (1.5,1))
plt.show()
In []:
# DANGEROUS (never reach a correct answer but halt your machine because we need to apply a non-linear classifier here
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  0  1]
pos y2:[1 1 1] * a:[-1  0  1] = 0 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 2]
neg y3:[1 0 1] * a:[0 1 2] = 2 ? neg  FALSE
=> updated a: [-1  1  1]
pos y0:[1 0 0] * a:[-1  1  1] = -1 ? pos  FALSE
=> updated a: [0 1 1]
neg y1:[1 1 0] * a:[0 1 1] = 1 ? neg  FALSE
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